在一个直角三角形中斜边的平方等于另外两边的平方和。
可汗学院[编辑 | 编辑源代码]
视频链接[编辑 | 编辑源代码]
可汗学院提供了与本主题相关的视频资料，您可能会发现这些资料更容易理解
勾股定理，介绍了定理本身。
勾股定理 II，提供了有关本主题的练习解题过程。
定理[编辑 | 编辑源代码]
直角三角形
在一个直角三角形中（直角三角形），最长的边总是距离直角最远的边。它被称为斜边。斜边的长度可以通过另外两边的长度计算得出。在图中，c 是斜边，我们可以通过a 和b 计算得出。
这是一个勾股定理或毕达哥拉斯定理的陈述 - 作为连接边长a、b 和c 的方程式：[1]
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
其中c 表示斜边的长度，a 和b 表示另外两边的长度。
这仅适用于直角三角形！
对于直角三角形，其角点分别标记为 A、B、C，如下所示，以下表达意味着相同的内容
B C ¯ 2 + A C ¯ 2 = A B ¯ 2 {\displaystyle {\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}}
我们只是对边a、b 和c 使用了不同的符号。
几何解释[编辑 | 编辑源代码]
勾股定理：两条直角边（a 和b）上正方形的面积之和等于斜边（c）上正方形的面积。
我们也可以用图示来展示这个方程式，如图所示，直角三角形的每条边都连接着一个正方形。这是勾股定理的几何解释，从面积的角度来看这个定理。较小的正方形的面积加起来等于较大正方形的面积。
从面积的角度来看，勾股定理说明
在任何直角三角形中，以斜边为边的正方形的面积（与直角相对的边）等于以两条直角边为边的正方形的面积之和。
关于勾股定理的两种说法完全相同，因为正方形的面积就是边长的平方。
定理的历史[编辑 | 编辑源代码]
毕达哥拉斯，描绘在一枚公元 3 世纪的硬币上
勾股定理以希腊数学家毕达哥拉斯的名字命名，传统上他被认为发现了并证明了这个定理，[2][3] 尽管人们经常争论说对这个定理的认识早于他。有许多证据表明巴比伦数学家了解这个公式。[4]
三个解题示例[编辑 | 编辑源代码]
在一个直角三角形中斜边的平方等于另外两边的平方和。
示例 1
勾股定理的常用示例是直角三角形，其中 a = 3 {\displaystyle a=3} 和 b = 4 {\displaystyle b=4} ，因为数字计算结果非常简洁
a 2 + b 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 {\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&\\3^{2}+4^{2}&=&\\9+16&=&25\end{matrix}}}
所以
c 2 = 25 {\displaystyle c^{2}=25}
和
c = 25 {\displaystyle c={\sqrt {25}}}
和
c = 5 {\displaystyle c=5}
示例 2
另一个常用的例子是直角三角形，其中另外两个角是 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} ，并且 a = 1 {\displaystyle a=1} 和 b = 1 {\displaystyle b=1} 。这次答案不是整数。
a 2 + b 2 = 1 2 + 1 2 = 1 + 1 = 2 {\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&\\1^{2}+1^{2}&=&\\1+1&=&2\end{matrix}}}
所以
c 2 = 2 {\displaystyle c^{2}=2}
和
c = 2 {\displaystyle c={\sqrt {2}}}
我们可以停在这里，也可以给出答案的小数形式。
c ≈ 1.414 {\displaystyle c\approx 1.414}
≈ {\displaystyle \approx } 符号表示“大约”。
示例 3
另一个例子是直角三角形，其中较短的边是 p = 11 {\displaystyle p=11} 厘米和 q = 7 {\displaystyle q=7} 厘米。
关于 p {\displaystyle p} 和 q {\displaystyle q} 呢？我们用什么字母来表示边的长度并不重要，只要我们保持一致就行。蓝色方框中的公式仍然适用。在这种情况下，我们可以将斜边称为 r {\displaystyle r} ，因此我们有 p 2 + q 2 = r 2 {\displaystyle p^{2}+q^{2}=r^{2}} 。
p 2 + q 2 = 11 2 + 7 2 = 121 + 49 = 170 {\displaystyle {\begin{matrix}p^{2}+q^{2}&=&\\11^{2}+7^{2}&=&\\121+49&=&170\end{matrix}}}
所以
r 2 = 170 {\displaystyle r^{2}=170}
和
r = 170 {\displaystyle r={\sqrt {170}}} 厘米
并给出答案的小数形式。
r ≈ 13.04 {\displaystyle r\approx 13.04} 厘米
这个答案合理吗？[编辑 | 编辑源代码]
值得检查一下答案是否合理。如果短边是 11 厘米和 7 厘米，长边大约是 13 厘米是否合理？是的，很合理。如果你得到 20 厘米（或 170 厘米）的答案，它将是不合理的。另外两条边不会延伸那么远。或者如果答案是 11 厘米或更小，你就会知道你没有得到斜边的长度，即最长的边。这里 13.04 厘米的答案是可以接受的，我们可能应该四舍五入到 13 厘米。
三维空间中[编辑 | 编辑源代码]
勾股定理在三维空间中将对角线 AD 与三条边联系起来。
勾股定理可以应用于三维空间，方法如下。
考虑图中所示的矩形体。矩形体底面上的对角线 BD 的长度可以用勾股定理求得，如下所示：
B D ¯ 2 = B C ¯ 2 + C D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {BD}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}}
其中这三条边构成一个直角三角形。使用水平对角线 BD 和垂直边 AB，对角线 AD 的长度可以通过第二次应用勾股定理求得，如下所示：
A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AD}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}}
或者，一步到位：
A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 + C D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AD}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}}
此结果是对角线 A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} 关于三个相互垂直边的三维表达式。
这个一步公式可以看作是勾股定理在更高维度的推广。然而，这个结果实际上只是对原始勾股定理的重复应用。
卡夫拉金字塔[编辑 | 编辑源代码]
一个三维空间中的例子
卡夫拉金字塔；高 274 肘；底面为 412 x 412 肘
用于计算斜边 AC 长度的线条和标签
这个例子是在三维空间中的，我们又必须两次使用勾股定理。
卡夫拉大金字塔高 274 肘。它有一个正方形底座，正方形边长为 412 肘。从一个角到顶点的斜对角边的长度是多少？
要回答这个问题，我们分两个阶段进行。请看图。
线 A O ¯ {\displaystyle {\overline {AO}}} 是垂直的，线 O B ¯ {\displaystyle {\overline {OB}}} 是水平的，因此存在一个直角三角形，其边为 A O ¯ {\displaystyle {\overline {AO}}} 和 O B ¯ {\displaystyle {\overline {OB}}} 。这使我们能够计算长度 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 。
我们需要小心。 A O ¯ {\displaystyle {\overline {AO}}} 是 274 肘，但 O B ¯ {\displaystyle {\overline {OB}}} 是正方形边长的一半，所以 O B ¯ {\displaystyle {\overline {OB}}} 是 412 2 = 206 {\displaystyle {\tfrac {412}{2}}=206} 肘。
三角形 △ A O B {\displaystyle \triangle AOB} 的斜边 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 的长度是多少？嗯，
A O ¯ 2 + O B ¯ 2 = 274 2 + 206 2 = 75 , 076 + 42 , 436 = 117 , 512 {\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {AO}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}&=&\\274^{2}+206^{2}&=&\\75,076+42,436&=&117,512\end{matrix}}}
所以
A B ¯ 2 = 117 , 512 {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}=117,512}
和
A B ¯ = 117 , 512 {\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {117,512}}} 肘
我们取得了进展，但我们需要 A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} 的长度，而不是 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 。
现在我们又有一个直角三角形， △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ，在 B 点有一个直角。我们需要 A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} 的长度。我们刚刚计算了 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} ，我们知道，因为金字塔的底座是正方形，所以 B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} 再次是 206 肘。这次 A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} 是斜边（ △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ）。所以
A B ¯ 2 + B C ¯ 2 = 117 , 512 2 + 206 2 = 117 , 512 + 42 , 436 = 159 , 948 {\displaystyle \displaystyle {\begin{matrix}{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}&=&\\{\sqrt {117,512}}^{2}+206^{2}&=&\\117,512+42,436&=&159,948\end{matrix}}}
所以
A C ¯ 2 = 159 , 948 {\displaystyle {\overline {AC}}^{2}=159,948}
和
A C ¯ = 159 , 948 {\displaystyle {\overline {AC}}={\sqrt {159,948}}} 肘
A C ¯ ≈ 400 {\displaystyle {\overline {AC}}\approx 400} 肘
其他形式[edit | edit source]
如引言中所述，如果 *c* 表示斜边的长度，*a* 和 *b* 表示其他两边的长度，则勾股定理可以表示为勾股方程
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
或者，解出 *c*
c = a 2 + b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
这就是我们在上面所有示例中所做的。我们正在使用较短的边来计算斜边的长度。
如果已知斜边 *c*，并且必须找到其中一条边的长度，则可以使用以下等式
b = c 2 − a 2 {\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}
或者
a = c 2 − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}
勾股方程提供了直角三角形三边之间的简单关系，因此，如果已知任意两边的长度，就可以找到第三边的长度。
练习[edit | edit source]
一个立方体盒子用来运送打印机。如果一边是 90 厘米，那么盒子的两个角之间的最长距离是多少？
一台 LCD 电视屏幕从角到角测量为 26 英寸。屏幕高度为 13 英寸。屏幕有多宽？（精确到十分之一英寸）
此图中，最长线的长度是多少？勾股定理再次出现
在此问题中，您可以假设所有看起来像直角的角都是直角。
来自四维空间的外星人正在将他们的全息电视包装到一个盒子里，准备前往地球。该盒子测量为 1.5 埃 by 1.5 埃 by 1.5 埃 by 1.5 埃（这是一个四维超立方体）。最长对角线的长度是多少？
如果一个房间长 17 英尺，宽 14 英尺，高 10 英尺，那么（a）地板，（b）一端墙壁，以及（c）房间侧墙的对角线的长度是多少？
找到缺失的边（勾股数）
在这些示例中，您都被告知三角形的三条边都是整数。
三角形是直角三角形
您得到了两条边。
找到第三条边。哪条边是斜边？
您被告知的边是 4,5，第三条边是多少？
您被告知的边是 5,12，第三条边是多少？
您被告知的边是 6,8，第三条边是多少？
您被告知的边是 40,41，第三条边是多少？
平方小数
( − 0.5 ) 2 {\displaystyle (-0.5)^{2}} ?在 -2 和 +2 之间的数字中，哪些数字平方后更靠近零？
上一模块"练习：追逐角度"
• 目录
下一模块"证明：勾股定理"
参考资料[edit | edit source]
↑ Judith D. Sally, Paul Sally (2007). "第三章：勾股定理". 从根源到研究：数学问题的垂直发展. 美国数学学会书店. p. 63. ISBN 0821844032.
↑ George Johnston Allman (1889). 从泰勒斯到欧几里得的希腊几何 (Kessinger 出版公司 2005 年再版). Hodges, Figgis & Co. p. 26. ISBN 143260662X. 人们普遍认为毕达哥拉斯定理，即“勾股定理”，是由他发现的，包括维特鲁威、丢勒尼奥斯·拉尔修斯、普罗克洛斯和普鲁塔克在内的许多人对此观点表示赞同……
↑ (希思 1921, 第一卷，第 144 页) harv error: no target: CITEREFHeath1921 (help)
↑ 奥托·诺伊格鲍尔 (1969). 古代的精确科学 (1957 年布朗大学出版社第二版再版). Courier Dover Publications. p. 36. ISBN 0486223329.. 对于不同的观点，请参阅 迪克·特雷西 (2003). 失落的发现：现代科学的古代根源. Simon and Schuster. p. 52. ISBN 074324379X., 其中推测，普林普顿 322 收藏 的一块泥板 322 上的第一列支持了巴比伦人对某些三角学元素的了解。这个说法在很大程度上被 埃莉诺·罗伯逊 (2002). "文字和图片：普林普顿 322 新光". 美国数学月刊. 美国数学学会. 109 (2): 105–120. doi:10.2307/2695324. {{cite journal}}: Invalid |ref=harv (help) 另请参阅 pdf 文件. 如今，普遍认为巴比伦人对三角函数一无所知。参阅 阿卜杜勒拉赫曼·A·阿卜杜勒阿齐兹 (2010). "普林普顿 322 泥板和巴比伦人生成勾股数的方法". arXiv 预印本. {{cite journal}}: Invalid |ref=harv (help) §2，第 7 页。